表达式·表达式树·表达式求值

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描述

众所周知,任何一个表达式,都可以用一棵表达式树来表示。例如,表达式a+b*c,可以表示为如下的表达式树:
   +
  /  \
 a    *
     /  \
     b  c
现在,给你一个中缀表达式,这个中缀表达式用变量来表示(不含数字),请你将这个中缀表达式用表达式二叉树的形式输出出来。

输入

输入分为三个部分。
第一部分为一行,即中缀表达式(长度不大于50)。中缀表达式可能含有小写字母代表变量(a-z),也可能含有运算符(+、-、*、/、小括号),不含有数字,也不含有空格。
第二部分为一个整数n(n < 10),表示中缀表达式的变量数。
第三部分有n行,每行格式为C x,C为变量的字符,x为该变量的值。

输出

输出分为三个部分,第一个部分为该表达式的逆波兰式,即该表达式树的后根遍历结果。占一行。
第二部分为表达式树的显示,如样例输出所示。如果该二叉树是一棵满二叉树,则最底部的叶子结点,分别占据横坐标的第1、3、5、7……个位置(最左边的坐标是1),然后它们的父结点的横坐标,在两个子结点的中间。如果不是满二叉树,则没有结点的地方,用空格填充(但请略去所有的行末空格)。每一行父结点与子结点中隔开一行,用斜杠(/)与反斜杠(\)来表示树的关系。/出现的横坐标位置为父结点的横坐标偏左一格,\出现的横坐标位置为父结点的横坐标偏右一格。也就是说,如果树高为m,则输出就有2m-1行。
第三部分为一个整数,表示将值代入变量之后,该中缀表达式的值。需要注意的一点是,除法代表整除运算,即舍弃小数点后的部分。同时,测试数据保证不会出现除以0的现象。

样例输入

a+b*c
3
a 2
b 7
c 5

样例输出

abc*+
   +
  /  \
 a    *
     /  \
     b  c
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中缀表达式生成二叉树

  • 考虑没有括号的情况
    对于一个中缀表达式:\(a+b\),由运算符分为左右两个部分。其二叉树表示形式自然为:

graph TB
root((+))—left((a))
root((+))—right((b))

所以,构建一个表达式树,关键在于找到表达式的根结点,然后分左右两个部分构建树;拓展到多个同级运算符的表达式:\(a+b+c+…+n\),可以这样构建其表达式树:

  1. 找到最后运算的结点,若以最右边的一个+为根结点
  2. 以根结点分为左右两个部分
  3. 构建根结点,左边构建树,右边构建树
  4. 若左边部分又是一个表达式,执行1、2、3步骤
  5. 若右边部分又是一个表达式,执行1、2、3步骤

这样就可以构建出整个表达式树:

graph TB
root((+))—left[a+b+…+n-1]
root((+))—right((n))
left-.->|左边部分又是一个表达式|root_l
subgraph
root_l((+))—left_l[a+b+…+n-2]
root_l((+))—right_l((n-1))
end
left_l-.->|n-1次重复后|root_n
subgraph
root_n((+))—left_n((a))
root_n((+))—right_n((b))
end

  • 考虑有不同优先级运算符的情况:
    \(a+b*c\),因为+是最后运算,所以它一定是树的根,*先运算,是+号分得的右边部分的根,这样得到其表达式树:

graph TB
root((+))—left((a))
root((+))—right((*))
right((*))—left_((b))
right((*))—right_((c))

所以,含有优先级不同的表达式,关键在于找到表达式最后运算的运算符,作为某个表达式树的根,然后分左右两个部分构建树;同样,同级运算符以最左边的运算符为最后运算的运算符,统一第一种情况:拓展到多个不同运算符出现的情况:\(a+b*c p_1…p_k n(p_i为第i个运算符)\)

  1. 找到最后运算的运算符作为根结点
  2. 以根结点分为左右两个部分
  3. 构建根结点,左边构建树,右边构建树
  4. 若左边部分又是一个表达式,执行1、2、3步骤
  5. 若右边部分又是一个表达式,执行1、2、3步骤

这样就可以构建出整个表达式树:

graph TB
root((+))—left((a))
root((+))—right[b*c p_1…p_k n]
right-.->|右边边部分又是一个表达式|root_r
subgraph 若p_i是最后运算的运算符
root_r((p_i))—left_r[b*c p_1…p_i-1 n-k+i-1]
root_r((p_i))—right_r[n-k+i p_i+1…p_k n]
end

  • 考虑存在括号的情况
    如果表达式中存在括号,最后运算的运算符一定在括号外,这样,需要一个变量记录括号位置,在括号外找到最后运算的运算符,然后分为左右两个部分,重复找括号,建树操作就可以了,以\(a*b+(c+d)\)为例:
  1. 找到最后运算的+号分左右两个部分:\(a*b\)和\((c+d)\)
  2. 左边部分建树
  3. 右边部分建树:
    • 右边部分括号外找不到最后运算的运算符,说明整个表达式被括号括起来
    • 去掉括号:c+d 建树
  4. 若左边部分又是一个表达式,执行1、2、3步骤
  5. 若右边部分又是一个表达式,执行1、2、3步骤

所以,构建表达式树的函数:CreateExpressionTree(char *expression, int start, int end, Bitree &tree)中,传入了表达式的开始下标和结尾下标,方便分割左边和右边部分:
CreateExpressionTree(char *expression, int start, int end, Bitree &tree)函数:

void CreateExpressionTree(char *expression, int start, int end, Bitree &tree)
{
    /** 
      * 这里,c1用来记录括号外最后运算的+或-
      * c2用来记录括号外最后运算的+或-
      * p记录括号当读到一个( p++, ) 时 p--, 只有p==0时才说明c1, c2 
      * 括号外 
      */
    int i, c1 = -1, c2 = -1, p = 0; 
    if (end - start == 1) {
        //只有一个结点,直接建立结点
        tree = new BTNode;
        tree->data = *(expression+start);
        tree->left_child = tree->right_child = NULL;
        return;
    }
    for (i = start; i < end; i++) {
        switch (*(expression+i))
        {
        case '(': p++; break;
        case ')': p--; break;
        case '+': case '-': if (!p) c1 = i; break;
        case '*': case '/': if (!p) c2 = i; break;
        }
    }
    //c1 < 0,说明括号外没有第一优先级的+或者-,那么就只能考虑*或者/
    if (c1 < 0) c1 = c2;     
    // 说明括号外没有第一优先级的*或者/,说明此时表达式被括号括起来, 去掉括号后建树
    if (c1 < 0) CreateExpressionTree(expression,start+1,end-1,tree);
    else {
        //建立根
        CreateExpressionTree(expression,c1,c1 + 1,tree);  
        //建立左树  
        CreateExpressionTree(expression,start,c1,tree->left_child);
        //建立右树
        CreateExpressionTree(expression,c1+1,end,tree->right_child);
    }
}
对于建树这一部分,参考了表达式树与前中后缀表达式,详细访问链接

打印表达式树

如题:

如果该二叉树是一棵满二叉树,则最底部的叶子结点,分别占据横坐标的第1、3、5、7……个位置(最左边的坐标是1),然后它们的父结点的横坐标,在两个子结点的中间。如果不是满二叉树,则没有结点的地方,用空格填充(但请略去所有的行末空格)。每一行父结点与子结点中隔开一行,用斜杠(/)与反斜杠(\)来表示树的关系。/出现的横坐标位置为父结点的横坐标偏左一格,\出现的横坐标位置为父结点的横坐标偏右一格。也就是说,如果树高为m,则输出就有2m-1行。


用一个graph[MAX_ROW][MAX_COL] 数组保存表达式树的位置信息。以题例来看:
   +
  /  \
 a    *
     /  \
     b  c
首先,一共有\(2^h-1\)个结点,层层找结点位置,中间位置,即第\(2^{h-1}\)个结点+把该层分为两个部分,且左右部分皆是\(2^{h-2}\)长度(ps:因为包含了\/的位置),如果有左结点,左结点就在\(2^{h-2}\)的中间部分,(ps:这里由于用到了\(2^x\)次方,在宏定义了一个POW(NUM) 1 << NUM, 1 << NUM 即右移NUM,即\(2^{NUM}\))右结点也如此处理…这样,处理下一层时,也如同上一层处理:先处理根结点,在处理左右结点。在处理完根结点后下一层应该留给/\,位置为中间位置左偏一个或右偏一个;

void Print(Bitree root, int row, int col, int len)
{
   if (root == NULL) return;
    graph[row][col-1] = root->data;     //当前层中间位置
    if (root->left_child!=NULL) {
        graph[row+1][col-2] = '/';      //下一层留给/,中间位置偏左一个
        Print(root->left_child,row+2,col-len,len>>1); // 左边部分
    }
    if (root->right_child!=NULL) {
        graph[row+1][col] = '\\';
        Print(root->right_child,row+2,col+len,len>>1);
    }
}
对于打印表达式树这一部分,参考了表达式·表达式树·表达式求值,详细访问链接

计算部分

对于这一部分,由于已经有了表达式树了,只需要一层层求解即可:

  1. 如果结点是运算符,将左树和右树的计算结果和根运算
  2. 如果结点不是运算符,直接返回变量值
    其中左树和右树的计算结果就是一个递归过程,反复执行1、2步;
这一部分由于要用到变量的值, 使用了 map<char,int> to_value的一个映射,给一个结点变量,对应一个变量值
对于计算部分,参考了表达式·表达式树·表达式求值,详细访问链接

其它

其他部分根据题意求解即可,关于表达式输入,使用了一个char*指针,但是我在这个地方初始化 expression = new char [52];一开始记成 expression = new char (52);导致一直不能过…


完整代码

/*
@File     :   expression_tree.cpp
@Time     :   2020/04/27
@Desc     :   表达式·表达式树·表达式求值
*/
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <map>
#define POW(NUM) 1<<NUM
#define MAX_ROW 70
#define MAX_COL 300

using namespace std;

typedef struct BTNode
{
    char data;
    struct BTNode *left_child;
    struct BTNode *right_child;
}*Bitree;
char graph[MAX_ROW][MAX_COL];
map <char,int> to_value;
void CreateExpressionTree(char *expression, int start, int end, Bitree &tree)
{
    int i, c1 = -1, c2 = -1, p = 0;
    if (end - start == 1) {
        tree = new BTNode;
        tree->data = *(expression+start);
        tree->left_child = tree->right_child = NULL;
        return;
    }
    for (i = start; i < end; i++) {
        switch (*(expression+i))
        {
        case '(': p++; break;
        case ')': p--; break;
        case '+': case '-': if (!p) c1 = i; break;
        case '*': case '/': if (!p) c2 = i; break;
        }
    }
    if (c1 < 0) c1 = c2;
    if (c1 < 0) CreateExpressionTree(expression,start+1,end-1,tree);
    else {
        CreateExpressionTree(expression,c1,c1 + 1,tree);
        CreateExpressionTree(expression,start,c1,tree->left_child);
        CreateExpressionTree(expression,c1+1,end,tree->right_child);
    }
}
void PostOrder(Bitree tree)
{
    if (tree == NULL) return;
    PostOrder(tree->left_child);
    PostOrder(tree->right_child);
    cout << tree->data;
}
int GetHeight(Bitree tree)
{
    int left_height, right_height;
    if (tree == NULL) return 0;
    else {
        left_height = GetHeight(tree->left_child);
        right_height = GetHeight(tree->right_child);
        return (left_height > right_height)?(left_height+1):(right_height+1);
    }  
}
void Print(Bitree root, int row, int col, int len)
{
   if (root == NULL) return;
    graph[row][col-1] = root->data;
    if (root->left_child!=NULL) {
        graph[row+1][col-2] = '/';
        Print(root->left_child,row+2,col-len,len>>1);
    }
    if (root->right_child!=NULL) {
        graph[row+1][col] = '\\';
        Print(root->right_child,row+2,col+len,len>>1);
    }
}
int Calculate(Bitree tree)
{
    switch (tree->data) 
    {
    case '+':
        return Calculate(tree->left_child) + Calculate (tree->right_child);
        break;
    case '-':
        return Calculate(tree->left_child) - Calculate (tree->right_child);
        break;
    case '*':
        return Calculate(tree->left_child) * Calculate (tree->right_child);
        break;
    case '/':
        return Calculate(tree->left_child) / Calculate (tree->right_child);
        break;
    default:
        return to_value[tree->data];
        break;
    }
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n, value;
    char *expression, valuable;
    Bitree tree;
    // expression = (char*)malloc(sizeof(char)*52);
    // expression = new char(52); !!!!!
    expression = new char[52];
    cin >> expression;
    cin >> n;
    while (n--) {
        cin >> valuable >> value;
        to_value[valuable] = value;
    }
    CreateExpressionTree(expression,0,strlen(expression),tree); 
    PostOrder(tree); cout << endl;
    memset(graph,' ',sizeof(graph));
    Print(tree,0,POW(GetHeight(tree)-1),POW(GetHeight(tree)-2)); 
    int j = 0, l = 0;
    for (int i = 0; i < MAX_ROW; ++i) {
        j = MAX_COL - 1;
        while (j >= 0 && graph[i][j] == ' ') --j;
        if (j > -1) {
            ++l;
            graph[i][j+1] = '\0';
        }
        else break;
    }
    for (int i = 0; i < l; ++i) cout << graph[i] << endl;
    cout << Calculate(tree) << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

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