博弈–尼姆博弈

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今天我们来聊一聊另一种博弈–尼姆博弈,这一种博弈可以说是巴什博弈的一种变体,巴什博弈中“石子”的堆数为1堆,而在利姆博弈中“石子”的堆数为n堆,还有在尼姆博弈中取石子的规则也发生了变化,前一种博弈中取石子的数量限定在[1,L],而后一种取石子的数量可以为任意数(但不能不取,而且还不能超过这一堆石子的总数),同样也是两人轮流来取,先取完者获胜。

下面我们进行一下分析:

  (1) 先假设只有两堆石子,当两者数量相同的时候,先手必败(先手从一堆中取a个石子,后手模仿先手从另一堆也取a个,最后一定是先手败);当两者数量不相等时,先手可以通过取石子将两堆石子变为的数量变为一样,这样,后手就面临必败态了。

  综合来看的话:当谁面临“两堆石子的数量相等”这一状态时,谁就必败。

  (2) 现在我们将情况推广到普通状态,我们先假设存在两堆石子a=7,b=5。这是两堆数量不同的石子堆,通过二进制拆分可以将他们化为:111 101,也就是(4+2+1)(4+1),我们现在可以将其视为5堆石子,其中有两堆数量为4,两堆数量为1的石子,也就是说,谁面临这种情况,谁就必败。而最后一堆谁将它一次性全部拿走,谁就是赢家。而通过二进制拆分可以将两堆数量分别为4、1的石堆归零不计。而通过异或这一操作正好可以达到这一要求。

  由上得到结论:对每一堆石子的数量进行异或,最终的值为0时(尼姆和),先手必败,反之,先手必胜。

典型例题:

Matches Game

题意:n堆石子,两个人轮流取,先取完者获胜。

题解:尼姆博弈的模板,直接套用。

代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int main() {
    ll n,t;
    while(cin>>n) {
        ll sum=0;
        cin>>sum;
        for(int i=1; i<n; i++) {
            cin>>t;
            sum=sum^t;
        }
        if(sum==0) cout<<"No"<<endl;
        else cout<<"Yes"<<endl;
    }
    return 0;
}

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