二叉排序树

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二叉排序树

二叉排序树是为了实现数据的有序排列,并可方便的对树中的数据进行插入和删除操作,提高查找效率。

二叉树

性质:

  • 若它的左子树不为空,则左子树上的所有值均小于根结点的值
  • 若它的右子树不为空,则右子树上的所有值均大于根结点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉排序树

下面说说二叉排序树的查找,插入,删除操作实现。

二叉排序树的结点结构:

template<class T>
class BTNode
{
public:
    //数据域
    T data;
    //指针域
    BTNode<T> *lchild,*rchild;
public:
    //构造函数
    BTNode(T D,BTNode<T> *l = NULL,BTNode<T> *r=NULL) : data(D),lchild(l),rchild(r) {}
};

查找

二叉排序树是一个有序的二叉树,其左子树永远比根节点的值小,右子树用于比根节点的值大。因此我们可以使用递归技术,如果key<p->data,则在p的左子树里面继续寻找;若key>p->data则在p的右子树里面继续寻找;直到key=p->data;否则表示未搜索到,退出函数。实现过程如下图:

查找

代码实现

/*
1、在rt中递归查找key是否存在,若不存在返回false
2、f指向rt结点的双亲,若rt为根节点,则f=NULL
3、若key存在,则返回true,p指向该数据值为key的结点
4、若key不存在,返回false,p指向访问的最后一个节点
*/
    bool SearchBST(BTNode<T> *rt, T key, BTNode<T> *&p = NULL, BTNode<T> *f = NULL)
    {
        if (!rt) //查找失败
        {
            p = f;
            return false;
        }
        else if (key == rt->data) //查找成功
        {
            p = rt;
            return true;
        }
        else if (key > rt->data)
        {
            return SearchBST(rt->rchild, key, p, rt); //在右子树继续查找
        }
        else
        {
            return SearchBST(rt->lchild, key, p, rt); //在左子树继续查找
        }
    }

收获:函数的参数列表若有指针,并且调用函数时,用的就是一个指针进行传递,则进行的是值传递。而*&a可以避免这种现象,这时进行的是地址传递。

插入

插入的关键是,在插入元素后还要继续保持二叉树的有序性。实现过程如下图:

插入

代码实现:

/*
1、先搜索二叉树rt中是否存在值key
2、若存在则返回false,不存在则插入
*/
    bool Insert(BTNode<T> *&rt, T key)
    {
        BTNode<T> *p = NULL;
        if (!this->SearchBST(rt, key, p))//未存在key
        {
            BTNode<T> *s = new BTNode<T>(key, NULL, NULL);
            if (!p)//p为空,即根节点为空
            {
                rt = s;//令根结点等于s
            }
            else if (key < p->data)
            {
                p->lchild = s;//key小于p->data,将p的左孩子置为s
            }
            else
            {
                p->rchild = s;//key大于p->data,将p的右孩子置为s
            }
            return true;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }

删除

二叉排序树的难点是删除操作。

删除结点分三种情况:

  • 结点没有左右孩子;
  • 结点只有左子树或右子树;
  • 结点左右子树均有;

结点没有左右孩子:

解决办法:删除该结点,将该结点的双亲指针域置为NULL

结点只有左子树或右子树:

解决办法:删除该结点,将该结点的双亲指针域指向该结点的左子树或右子树。

结点左右子树均有:

解决办法:保留该结点,将该结点的数据域改为该结点直接前驱(或直接后继)结点的值,删除该结点的直接前驱结点。

实现过程如下图:

删除

代码实现:

/*
若二叉树rt中存在key,在删除结点,并返回true,否则返回false
*/    
	bool DeleteBST(BTNode<T> *&rt,T key)//地址传递
    {
        if(!rt)
        {
            //未找到
            return false;
        }
        else
        {
            if(rt->data==key)
            {
                //找到key
                return Delete(rt);//rt只是其双亲指针域的一个别名
            }
            else if (rt->data>key)
            {
                return DeleteBST(rt->lchild,key);
            }
            else
            {
                return DeleteBST(rt->rchild,key);
            }
        }
    }

Delete函数实现:

    bool Delete(BTNode<T> *&p)//地址传递,p只是别名
    {
        BTNode<T> *q;
        //只存在右子树,或右子树也不存在
        if(!p->lchild)
        {
            q=p;
            p=p->rchild;//重接其右子树
            delete q;//删除原来的结点
        }
        //只存在左子树
        else if (!p->rchild)
        {
            q=p;
            p=p->lchild;
            delete q;
        }
        //左右子树均存在
        else
        {
            BTNode<T> *s=p;
            q=p->lchild;
            //寻找其直接前驱结点
            while(q->rchild)
            {
                s=q;//s为q的双亲
                q=q->rchild;
            }
            //将q的值赋给p
            p->data=q->data;
            if(s!=p)//若p和q的双亲指向不等
            {
                s->rchild=q->lchild;//重接s的右子树
            }
            else
            {
                s->lchild=q->lchild;//重接s的左子树
            }
            delete q;            
        }
        return true;
    }

C++代码实现:

#include <iostream>
using namespace std;

//二叉树结点
template <class T>
struct BTNode
{
    T data;                     //存储数据
    BTNode<T> *lchild, *rchild; //左右孩子指针
    BTNode(T D, BTNode<T> *l = NULL, BTNode<T> *r = NULL) : data(D), lchild(l), rchild(r) {}
};

//二叉树
template <class T>
class BST
{
    //属性值
private:
    //根节点指针
    BTNode<T> *root;
    //查找结点
    bool SearchBSTP(BTNode<T> *rt, T key, BTNode<T> *&p = NULL, BTNode<T> *f = NULL)
    {
        if (!rt) //查找失败
        {
            p = f;
            return false;
        }
        else if (key == rt->data) //查找成功
        {
            p = rt;
            return true;
        }
        else if (key > rt->data)
        {
            return SearchBSTP(rt->rchild, key, p, rt); //在右子树继续查找
        }
        else
        {
            return SearchBSTP(rt->lchild, key, p, rt); //在左子树继续查找
        }
    }
    //插入结点
    bool Insert(BTNode<T> *&rt, T key)
    {
        BTNode<T> *p = NULL;
        if (!this->SearchBSTP(rt, key, p))
        {
            BTNode<T> *s = new BTNode<T>(key, NULL, NULL);
            if (!p)
            {
                rt = s;
            }
            else if (key < p->data)
            {
                p->lchild = s;
            }
            else
            {
                p->rchild = s;
            }
            return true;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }
    //删除结点
    bool Delete(BTNode<T> *&p)
    {
        BTNode<T> *q;
        if(!p->lchild)
        {
            q=p;
            p=p->rchild;
            delete q;
        }
        else if (!p->rchild)
        {
            q=p;
            p=p->lchild;
            delete q;
        }
        else
        {
            BTNode<T> *s=p;
            q=p->lchild;
            while(q->rchild)
            {
                s=q;
                q=q->rchild;
            }
            p->data=q->data;
            if(s!=p)
            {
                s->rchild=q->lchild;
            }
            else
            {
                s->lchild=q->lchild;
            }
            delete q;            
        }
        return true;
    }

    bool DeleteBSTP(BTNode<T> *&rt,T key)
    {
        if(!rt)
        {
            //未找到
            return false;
        }
        else
        {
            if(rt->data==key)
            {
                //找到key
                return Delete(rt);
            }
            else if (rt->data>key)
            {
                return DeleteBSTP(rt->lchild,key);
            }
            else
            {
                return DeleteBSTP(rt->rchild,key);
            }
        }
    }
    //中序遍历
    void InOrder(BTNode<T> *rt)
    {
        if(rt)
        {
            InOrder(rt->lchild);
            cout<<rt->data<<" ";
            InOrder(rt->rchild);
        }
    }
    //删除二叉树
    void Destory(BTNode<T> *&rt)
    {
        if(rt)
        {
            Destory(rt->lchild);
            Destory(rt->rchild);
            delete rt;
        }
    }
    //行为属性
public:
    //构造函数
    BST(BTNode<T> *r = NULL) : root(r) {}
    //拷贝构造函数
    BST(const BST<T> &bt) : root(NULL)
    {
    }
    //删除二叉树
    void Destory()
    {
        this->Destory(this->root);
        this->root=NULL;
    }
    //析构函数
    ~BST()
    {
        this->Destory();
    }
    //获得根指针
    BTNode<T> *Getroot()
    {
        return this->root;
    }
    //搜索值
    //并将
    bool SearchBST(T key, BTNode<T> *p = NULL)
    {
        return this->SearchBSTP(this->root, key, p, NULL);
    }
    //插入结点,顺序插入
    /*1、先判断此值是否存在,若存在,则返回true
      2、若不存在,创造结点s,并顺序插入二叉树中
      3、若不存在,则存在指针p指向查找路径的最后一个结点
      4、判断插入值和指针p指向的值的大小,若key>p->data,则p->rchild=s;
                                      否则p->lchild=s;
    */
    bool InsertBST(T key)
    {
        return this->Insert(this->root, key);
    }
    //shanchujiedian
    bool DeleteBST(T key)
    {
        return this->DeleteBSTP(this->root, key);
    }

    void InOrder()
    {
        this->InOrder(this->root);
    }
};

int main()
{
    BST<int> temp;
    int a[] = {62,58,88,47,73,99,35,51,93,29,37,49,56,36,48,50};
    for (int i = 0; i < 16; i++)
    {
        temp.InsertBST(a[i]);
    }
    temp.InOrder();
    cout<<endl;
    //BTNode<int> *p;
    cout << "查找结果:" << temp.SearchBST(51) << endl;
    temp.DeleteBST(62);
    cout << "查找结果:" << temp.SearchBST(50) << endl;
    temp.InOrder();
    cout<<endl;
    temp.Destory();
    temp.InOrder();
    cout<<endl;

    system("pause");
    return 0;
}

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