UOJ192 最强跳蚤

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problem

给出一个n个点带边权的树,问有多少对\((u,v)\)满足\(u\)到\(v\)路径上边权的乘积为完全平方数。
\(n\le 10^5,w\le 10^8\)

solution

一个比较朴素的处理方法就是:设第i个质因子权值为\(2^{i-1}\),将每个边权质因子分解,并将所有质因子的权值异或起来,然后得到一个新的权值。这样问题就转化为了求有多少对\((u,v)\)满足从\(u\)到\(v\)路径上的权值异或和为0。直接书上前缀和一下就行。

但是当\(w=10^8\)时显然不行,考虑给每个质因子随机赋一个\([0,2^{64}]\)中的值,然后用同样的方法异或起来。这样满足条件的路径一定可以被找到。不满足条件的路径只有\(\frac{1}{2^{64}}\)误算。

然后考虑如何计算每个数字的质因子,先线性筛出\([1,\sqrt{w}]\)中的质因子,并对其重新赋权值。对于大于\(\sqrt{w}\)的质因子单独处理一下。

code

/*
* @Author: wxyww
* @Date: 2020-02-05 16:57:50
* @Last Modified time: 2020-02-05 18:21:14
*/
#include<map>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N = 100010;
ll read() {
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
struct node {
	int v,nxt;ull w;
}e[N << 1];
int head[N],ejs;
void add(int u,int v,ull w) {
	e[++ejs].v = v;e[ejs].nxt = head[u];head[u] = ejs;e[ejs].w = w;
}
map<int,ull>ma;
ull Rand() {
	return (ull)rand() * (ull)rand() * (ull)rand() * (ull)rand() * (ull)rand();
}
ull val[N];
int vis[N],pri[N],tot;
void pre() {
	for(int i = 2;i <= 10000;++i) {
		if(!vis[i]) {
			pri[++tot] = i;
			val[tot] = Rand();
		}
		for(int j = 1;j <= tot && i * pri[j] <= 10000;++j) {
			vis[pri[j] * i] = 1;
			if(i % pri[j] == 0) break;
		}
	}
}
ull get(int x) {
	ull ret = 0;
	for(int i = 1;i <= tot;++i) {
		while(x % pri[i] == 0) {
			x /= pri[i];
			ret ^= val[i];
		}
	}
	if(x != 1) {
		if(!ma.count(x)) ma[x] = Rand();
		ret ^= ma[x];
	}
	return ret;
}
ull dis[N];
ll anss;
map<ull,int>ans;
void dfs(int u,int fa) {
	anss += ans[dis[u]] * 2;
	ans[dis[u]]++;
	for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].v;if(v == fa) continue;
		dis[v] = dis[u] ^ e[i].w;
		dfs(v,u);
	}
}
int main() {
	pre();
	int n = read();
	for(int i = 1;i < n;++i) {
		int u = read(),v = read();ull w = get(read());
		add(u,v,w);add(v,u,w);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<anss;
	return 0;
}

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